Actualité mathématique

Un nouveau mode de scrutin, un autre président ?

Wed, 23 May 2007 22:00:00 +0100

Cette brève sur le jugement majoritaire est adaptée d'un article de David Larousserie dans Sciences & Avenir. D'autres informations peuvent être trouvées sur le site faisant part de ce mode de scrutin expérimental.
Où l'on voit que François Bayrou est le « vainqueur de Condorcet », c'est-à-dire une personne capable de battre n'importe qui en un contre un, mais incapable d'accéder au second tour. En effet, le théorème d'impossibilité d'Arrow et le paradoxe de Condorcet montrent qu'une volonté générale ne peut être établie à partir d'une somme de volontés individuelles.

Le scrutin majoritaire à deux tours n'est pas la seule méthode possible pour choisir un président de la République. Avec les mêmes candidats mais un mode de scrutin totalement différent, la France aurait peut-être élu un autre président, selon une expérience menée pendant les élections présidentielles.

Un autre type de scrutin aurait pu désigner François Bayrou plutôt que Nicolas Sarkozy comme président de la République. Les mathématiciens du laboratoire d'économétrie de l'École Polytechnique, Michel Balinski et Rida Laraki, ont testé dans trois bureaux de vote d'Orsay (Essonne) leur nouvelle méthode pour élire un candidat en un tour : le jugement majoritaire.
Après avoir glissé leur bulletin dans l'urne officielle, 1752 personnes (sur les 2360 ayant voté ce jour-là dans les trois bureaux) ont rempli un autre bulletin assez particulier sur lequel ils devaient donner une mention à chacun des candidats, comme à des écoliers : Très bien, Bien, Assez bien, Passable, Insuffisant, À rejeter. La même appréciation pouvait être donnée à plusieurs candidats.

La seconde originalité du jugement majoritaire réside dans la façon d'ordonner les résultats. Le gagnant est celui qui obtient la meilleure mention majoritaire. Celle-ci est la médiane des mentions obtenues par un candidat et non pas la « moyenne » que l'on pourrait calculer en faisant correspondre des notes aux appréciations. Par exemple, une appréciation majoritaire « assez bien » signifie que la majorité des votants a attribué une mention au moins aussi bonne, soit « très bien », « bien » ou « assez bien ». En fait, il suffit d'additionner les pourcentages obtenus pour chaque mention en partant des plus hautes ; la mention qui permet de dépasser 50% est la mention majoritaire.

À Orsay, Ségolène Royal, Nicolas Sarkozy et François Bayrou (arrivés dans cet ordre au premier tour dans les trois bureaux) ont obtenu la mention « assez bien ». Avec le jugement majoritaire, François Bayrou aurait été élu car il totalise plus de mentions au-dessus d'« assez bien » que ses concurrents. Royal aurait été seconde et Sarkozy troisième. Les résultats complets se trouvent sur le site du CECO.
L'expérience est riche d'enseignements, selon les chercheurs. « Trois candidats se distinguent nettement », résume Michel Balinski. « Quatre, dont Jean-Marie Le Pen, sont à rejeter. Dominique Voynet est quatrième ce qui témoigne d'un intérêt pour l'environnement impossible à voir dans le mode de scrutin actuel. » Plus d'un électeur sur trois a donné sa meilleure mention à au moins deux candidats, ce qui montre l'absence de choix nets, contrairement à ce que le mode de scrutin actuel oblige à faire. De même, la méthode ne favorise pas le centre, puisque Bayrou n'a pas gagné dans les trois bureaux.

Ce mode de scrutin innovant permet aussi de tester les duels entre deux candidats. En permettant la nuance, le jugement majoritaire rend quasi inopérantes les stratégies de vote, celles qui conduisent à voter moins pour sa préférence que pour faire « barrage » ou voter « utile ». Dans cette méthode, il ne sert à rien d'augmenter par calcul électoral la mention d'un candidat dès lors que la médiane est inférieure à celle-ci. Inversement, « descendre » un candidat n'est pas plus payant. Par exemple, Voynet a eu la mention « passable » mais ceux qui lui ont mis « assez bien » n'auraient pas changer le résultat en lui mettant « très bien ». Bref, le choix paraît plus sincère.
Ce ne serait pas la même chose si des chiffres ou des notes remplaçaient les appréciations et si l'on calculait des moyennes, selon les chercheurs. Ils critiquent ainsi par avance d'autres méthodes de ce genre qui ont été également testées en France pour ces élections sous l'égide du Conseil d'Analyse Stratégique (ex-Commissariat au Plan) et dont les résultats seront bientôt connus.

Les chercheurs justifient très scientifiquement les qualités de leur proposition qui a déjà été appliquée avec succès pour un concours... d'œnologie.

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Les consommateurs et les pourcentages

Sun, 13 May 2007 22:00:00 +0100

Le professeur Akshay Rao de l'Université du Minnesota et l'assistant professeur Haipeng Chen de l'Université de Miami ont découvert que les consommateurs considèrent les pourcentages comme des nombres usuels, ce qui conduit à des erreurs grossières systématiques. Dans les magasins, les réductions sur les prix des produits sont souvent exprimées en pourcentage mais dès que plusieurs pourcentages s'appliquent sur le même produit, les consommateurs se trompent dans l'évaluation des prix qui en résultent. Par exemple, une réduction de 25% suivie d'une autre réduction de 25% sur un produit coûtant 100 € ne le fait pas à moitié prix (50 €) mais à 56 € car 0,75×0,75 = 0,56 (soit 44% de réduction effective).

Il est aussi intéressant de remarquer qu'un tel effet peut être trompeur lorsque l'on applique une augmentation suivie d'une réduction. C'est notamment vrai dans le secteur boursier. Par exemple, une augmentation de 40% du prix d'une action suivie d'une perte de 30% de celle-ci correspond à... une perte globale de 2% ! Et surtout pas à un gain de 10% car 1,4×0,7 = 0,98.

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Un étudiant de 19 ans améliore la constante d'Euler-Mascheroni

Sun, 08 Apr 2007 22:00:00 +0100

Alexander J. Yee, un étudiant de 19 ans en informatique à l'Université Northwestern d'Evanston (dans l'Illinois), a récemment remporté l'équivalent mathématique d'une médaille olympique en calculant 116 580 041 de décimales de la constante d'Euler-Mascheroni en 38 heures et demie (le 8 décembre 2006). Le précédent record était de 108 millions de décimales, calculées en octobre 1999 par les Français Xavier Gourdon et Patrick Demichel.
Espérons qu'il fera une brillante carrière dans la recherche !

Rappelons que la constante d'Euler-Mascheroni est la limite de la suite harmonique à laquelle l'on retranche son équivalent ln(n). Elle vaut 0.5772... et l'on ne sait même pas si elle est rationnelle ! Notons que Papanikolaou a démontré que si c'était le cas, son dénominateur serait supérieur à 10^242 080. Cependant, il est conjecturé que γ serait transcendant.
Elle est plus connue sous le nom de constante d'Euler puisqu'il l'a trouvée en 1735 et qu'il en calcula 16 décimales en 1781. C'est Mascheroni qui la nota γ en 1790 ; il en calcula alors 32 décimales – mais seules les 19 premières étaient justes ! Soldner en calcula 40 en 1809, ce que vérifièrent Gauß et Nicolai en 1812.

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Prix Abel 2007 à Srinivasa Varadhan pour ses contributions à la théorie des probabilités

Tue, 27 Mar 2007 22:00:00 +0100

Quelle était la probabilité pour le mathématicien indien Srinivasa Varadhan de recevoir le prix Abel, haute distinction dans sa discipline ? Il est peu probable que ce chercheur de 67 ans se soit adonné à ce calcul. Ce spécialiste du hasard et de l'inattendu s'est déclaré surpris que l'Académie norvégienne des Sciences et des Lettres lui remette ce prix pour couronner l'ensemble de son œuvre en théorie des probabilités et en particulier sur la théorie unifiée des grandes déviations (la part d'inattendu que la loi des grands nombres de Bernoulli ne prévoit pas).

Les retombées de cette théorie concernent aussi bien la physique que la biologie, l'économie et la finance, l'informatique ou l'ingénierie, souligne l'Académie norvégienne. « Elle a aussi permis une extension considérable de notre capacité à utiliser des ordinateurs pour simuler et analyser l'occurrence d'événements rares ».

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Application des groupes de Lie à la théorie des supercordes

Sat, 24 Mar 2007 23:00:00 +0100

Une équipe de 18 mathématiciens vient de résoudre un important problème mathématique centenaire : après quatre années de travail de recherche mathématique et de programmation puis 77 heures de calculs sur ordinateur, ils ont déterminé la structure complète du groupe de Lie E₈. L'information recueillie est 60 fois plus grande que celle contenue dans l'ADN d'une seule cellule et pourrait être à l'origine d'une révolution en théorie des supercordes.
David Vogan, professeur de mathématiques au Massachusetts Institute of Technology, a annoncé la découverte lors d'une conférence intitulée « La table des caractères E₈, ou comment nous avons rempli une grille de 453 060 par 453 060 et découvert le bonheur ».

Les groupes, d'abord étudiés par Évariste Galois pour comprendre la résolution d'équations algébriques par radicaux, jouent un rôle primordial en mathématiques et y sont omniprésents. Le Norvégien Sophus Lie construisit l'analogue de la théorie des groupes de Galois pour les équations différentielles en 1888, dans le but de les classer et de répertorier leurs méthodes de résolution. Les célèbres mathématiciens Killing, Cartan et Weyl sont parvenus à une classification théorique complète, mais sans expliciter la structure des groupes mis en évidence par les diagrammes de Dynkin et qui permettent de caractériser des objets selon l'ensemble de leurs symétries : les quatre familles de groupes de Lie classiques A_n, B_n, C_n et D_n où n est un entier respectivement supérieur à 1, 2, 3 et 4, et les cinq groupes exceptionnels E₆, E₇, E₈, F₄ et G₂.
Toute équation différentielle intégrable a son groupe de Lie qui est un composé des éléments de ces familles. Un groupe de Lie – comme Rⁿ, GL_n(R) ou SO_n(R) – est une variété différentielle réelle ou complexe munie d'une structure de groupe, les opérations sur ce groupe devant également être différentiables ou holomorphes.

Les 60 Go d'informations obtenues sur le groupe de Lie E₈ (les symétries d'un objet de 57 dimensions décrites dans un groupe à 248 dimensions) pourront peut-être apporter des éléments importants sur la mécanique quantique, la formation de l'univers ou l'unification des quatre interactions élémentaires (gravitation, électromagnétisme, nucléaires faibles et nucléaires fortes). C'est ce dernier point qui touche à la théorie des supercordes, visant à fournir une description de la gravité quantique et de la relativité générale, grâce aux hypothèses suivantes :

les briques fondamentales de l'univers ne seraient pas des particules ponctuelles mais des sortes de cordelettes vibrantes possédant une tension à la manière d'un élastique ; et ce que nous percevons comme des particules de caractéristiques distinctes (masse, charge électrique, etc.) ne seraient que des cordes vibrant différemment ;
l'univers contiendrait plus de trois dimensions spatiales, dont certaines peuvent être repliées sur elles-mêmes – voir les théories d'Oskar Klein. Au passage, le dédoublement du groupe E₈ pour représenter les supercordes hétérotiques pourrait indiquer que notre univers est en fait composé de deux feuillets, comme le prix Nobel Abdus Salam et les fondateurs de la théorie des cordes, Schwarz, Green et Witten l'avaient fait remarquer il y a plus de 10 ans.

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Paul Cohen s'est éteint

Thu, 22 Mar 2007 23:00:00 +0100

Le mathématicien américain Paul Joseph Cohen, né 2 avril 1934 et mort le 23 mars 2007 des suites d'une maladie pulmonaire, est surtout connu pour avoir démontré en 1963 que l'hypothèse du continu (il n'existe aucun ensemble de cardinal compris strictement entre celui des entiers naturels et celui des nombres réels) et l'axiome du choix (étant donné une famille non vide d'ensembles non vides, il existe une fonction, appelée fonction de choix, qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments) étaient indépendants des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem. Ses travaux lui ont valu la médaille Fields en 1966.

Il a utilisé pour cela une méthode originale qui consiste à agrandir l'ensemble sur lequel on travaille pour en étudier de nouvelles propriétés : c'est le forcing.

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Le printemps un 21 mars ?

Tue, 20 Mar 2007 23:00:00 +0100

Le 21 mars 2007 est le jour du printemps. Cela semble normal alors que, bien au contraire, ce sera la dernière fois du siècle où le printemps tombera un 21 mars, date pourtant la plus fréquente tout au long du siècle dernier !

Le jour du printemps est défini comme le point vernal (du latin uer qui signifie « printemps ») correspondant à l'équinoxe (aequus nox, l'égale nuit : le Soleil se lève à l'est exactement là où il se couchera plus tard à l'ouest, ce qui fait que la durée du jour et de la nuit sont alors égales). Ce même phénomène se produit le jour de l'automne. Au moment des équinoxes, le Soleil est à la verticale de l'équateur et les deux pôles sont identiquement éclairés ; pour l'un, c'est le début d'une journée de six mois tandis que pour l'autre, c'est le début d'une longue nuit de six mois.

Notons pour l'anecdote que les éphémérides annoncent une différence d'une dizaine de minutes entre la durée de la nuit et celle du jour ; cela correspond à la réfraction des rayons du Soleil dans l'atmosphère. L'astre du jour semble alors encore visible alors qu'il s'est déjà couché depuis plusieurs minutes !

Et quand sera le prochain printemps tombant un 21 mars ? En 2102 !
En attendant, il aura lieu le 20 mars jusqu'en 2043 inclus puis oscillera entre le 19 et le 20 mars – il ne peut pas aller plus loin grâce aux années bissextiles.
Quant au jour de l'automne, il tombe le 21, 22, 23 ou 24 septembre. La première fois où il tombera le 21 septembre, depuis la création du calendrier grégorien, sera en 2092 (puis en 2096 et en 2464). Le prochain 24 septembre sera en 2303, et ce sera la dernière fois !

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