Parallèles

Préliminaires nécessaires avant toute discussion, les vingt-trois définitions du premier livre des Éléments permettent de nous mettre d'accord sur le sens précis des termes employés.
 

Définition 23

Texte original

Définition 23

Traduction proposée

Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre.

Commentaires

Dans cette dernière définition de ce premier livre des Éléments, Euclide définit le parallélisme comme étant une particularité de la direction de deux droites coplanaires, c'est-à-dire qui appartiennent au même plan. Il peut aussi exister une infinité de droites parallèles entre elles. Il suffit simplement de définir une direction.

Droites parallèles

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles et suivent toutes les deux la direction indiquée en vert au-dessus d'elles. Ces deux droites ont constamment une même distance AC = BC entre elles et nous notons :

(AB) // (CD).

Bien qu'il ne soit pas dit que de telles droites parallèles existent, la proposition 31 donne une construction d'une droite parallèle à une droite donnée et passant par un point donné du plan. Le cinquième postulat, le plus célèbre d'Euclide, prétend même qu'une seule droite de la sorte existe.

 

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