Construire un triangle équilatéral

Le premier livre des Éléments d'Euclide comporte quarante-huit propositions. Je ne propose cependant que la première afin de montrer la structure d'une proposition.
 

Proposition 1

Texte original

Proposition 1

Traduction proposée

Proposition
Construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie.
Exposition
Soit AB une ligne droite donnée et finie.
Détermination
Il s'agit de construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral.
Construction
À partir du centre A et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence BCD ; puis, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la circonférence ACE. Du point C, où les circonférences sont mutuellement concourantes, conduisons aux points A et B les droites CA et CB.
Démonstration
En effet, comme le point A est le centre du cercle CDB, la droite AC est égale à la droite AB ; de plus, comme le point B est le centre du cercle CAE, la droite BC est égale à la droite BA. Or, on a démontré que la droite CA est égale à la droite AB ; donc chacune des droites CA et CB est égale à la droite AB. Étant donné que des grandeurs qui sont égales à une même grandeur sont égales entre elles, la droite CA est égale à la droite CB. Donc les trois droites CA, AB et BC sont égales entre elles.
Conclusion
Ainsi, le triangle ABC est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.

Illustration de la proposition

 

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