La fonction « sinus »

Commençons par définir les fonctions trigonométriques circulaires.
 

Par l'intermédiaire de cette activité préparatoire, nous allons définir la fonction qui est appelée sinus d'un angle aigu.

Pour cela, considérons les angles inscrits dans un cercle.

Rappelons au préalable une des propriétés fondamentales des angles inscrits dans un cercle.

Étant donné un arc de cercle, tous les angles inscrits qui lui sont associés, ainsi que les deux angles tangents, ont même mesure. Celle-ci est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre associé.

Angle inscrit et angle au centre

Par rapport à l'arc de cercle défini par les points A et B,

α = λ
et β = 2×α = 2×λ.

Nous en déduisons ainsi que les angles α de même mesure s'appuient sur des cordes de même longueur.

Angles s'appuyant sur des cordes de même longueur

Le rapport BC/AB de la longueur de la corde [BC] au diamètre [AB] du cercle ne dépend que de la mesure de l'angle α.

En effet, pour tout angle aigu, nous pouvons toujours nous arranger pour que l'un des côtés soit le diamètre d'un cercle, et obtenir ainsi un triangle dont le troisième côté est la corde définie par l'angle α.

Tout triangle dont les sommets sont situés sur un même cercle et dont un côté est le diamètre de ce cercle est un triangle rectangle.

D'après la propriété ci-dessus, ce triangle est droit, et le sinus de l'angle α est le rapport BC/AB entre le côté opposé [BC] à l'angle α et l'hypoténuse [AB] du triangle ABC rectangle en C.

Le rapport BC/AB est appelé sinus de l'angle α.

Nous notons alors sin(alpha) = BC/AB.

Remarques

Nous pouvons introduire de la même manière le rapport entre le côté adjacent à l'angle α et l'hypoténuse. Cela donne le sinus de l'angle complémentaire de α, que l'on note cos(α).

En limitant l'application de la fonction sinus au triangle ABC rectangle en C, nous vérifions que sin(alpha) = BC/AB.

Nous en déduisons ainsi la propriété fondamentale :

côté opposé/hypoténuse.

On utilise encore parfois la fonction trigonométrique cosécante définie comme l'inverse du sinus :

Cosécante d'un angle.

 

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