Deuxième approche ~ Le paradoxe de Bertrand

Ce problème, qui s'inscrit dans le cadre des calculs de probabilités géométriques, fut exhibé par le mathématicien français Joseph Bertrand en 1899. Il peut comporter quatre réponses justes selon la compréhension des mots « hasard » et « choix ».

Deuxième approche

Cette fois, commençons par fixer l'une des extrémités de la corde sur le cercle...

Par raison de symétrie, nous pouvons supposer que l'une des extrémités de la corde a été fixée en un point A choisi aléatoirement sur le cercle (C).
L'autre extrémité B sera choisie au hasard sur la circonférence.

La probabilité que le point B tombe sur un arc donné de la circonférence étant proportionnelle à la longueur de cet arc, la corde est plus longue que le côté [MN] du triangle équilatéral inscrit dans le cercle lorsque B se trouve sur l'arc arc MN

dont la longueur est le tiers de celle de la circonférence du cercle (C).

En conséquence, B devra être choisi sur l'arc de cercle opposé sous-tendu par le côté du triangle équilatéral inscrit.

Puisque le triangle équilatéral, tout comme le sommet A, détermine trois arcs isométriques, la probabilité P cherchée est :

Afin de vérifier l'exactitude de la probabilité trouvée lors de la modélisation de cette deuxième approche, le site TrigoFACILE a mis au point un algorithme qui permet de simuler la longueur d'une corde tracée au hasard dans un cercle.

Une expérience consiste ici à déterminer aléatoirement un réel compris entre 0 et π puis à vérifier si ce réel appartient à l'ensemble [pi/3 ; 2pi/3]

Testez cet algorithme sans plus tarder en indiquant dans la case ci-dessous le nombre d'itérations désirées puis cliquez sur le bouton de validation.

Nous remarquons que plus le nombre d'expériences est grand, plus la probabilité cherchée est proche de 1/3

C'est donc que cette deuxième approche nous suggère une nouvelle réponse au problème de Bertrand, qui devient de fait un véritable paradoxe.
Et ce n'est pas fini...