Classification des figures trilatères

Préliminaires nécessaires avant toute discussion, les vingt-trois définitions du premier livre des Éléments permettent de nous mettre d'accord sur le sens précis des termes employés.
 

Définition 21

Texte original

Définition 21

Traduction proposée

De plus, parmi les figures trilatères, un triangle rectangle est celle qui a un angle droit, un triangle obtusangle, celle qui a un angle obtus, un triangle acutangle, celle qui a ses trois angles aigus.

Commentaires

Cette définition classe les figures trilatères selon la nature des angles qu'elles possèdent. En toute logique, nous devrions encore une fois conserver le terme de « trilatère ».

Triangles

Le triangle rectangle possédant un angle droit, c'est-à-dire dont la mesure est 90°, il est littéralement appelé « triangle droit ».
Ce n'est que dans la dix-septième proposition qu'Euclide montre que la somme de deux angles quelconques d'un triangle est toujours strictement inférieure à deux angles droits, soit 180°. Par conséquent, un triangle ne peut pas contenir plus d'un angle droit.

En outre, un triangle ne peut pas posséder plus d'un angle obtus, tout comme il ne peut posséder à la fois un angle droit et un angle obtus. C'est pourquoi Euclide ne fait pas état de tels triangles dans cette définition.
L'angle obtus du triangle obtusangle est marqué en rouge. Ses deux autres angles internes sont nécessairement aigus.
Quant au triangle acutangle, ses trois angles internes sont aigus.

 

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