Classification des figures quadrilatères ♥

Préliminaires nécessaires avant toute discussion, les vingt-trois définitions du premier livre des Éléments permettent de nous mettre d'accord sur le sens précis des termes employés.
 

Définition 22

Texte original

Définition 22

Traduction proposée

Parmi les figures quadrilatères, un carré est celle qui est équilatérale et rectangulaire, un rectangle, celle qui est rectangulaire et non équilatérale, un losange, celle qui est équilatérale et non rectangulaire, un parallélogramme, celle qui a ses côtés et ses angles opposés égaux entre eux et qui n'est ni équilatérale ni rectangulaire ; les autres quadrilatères, ceux-là exceptés, se nomment trapèzes.

Commentaires

Après avoir détaillé les figures trilatères, Euclide classe les figures quadrilatères selon la longueur de leurs côtés et la mesure de leurs angles.

Quadrilatères

Quant aux quadrilatères qui n'appartiennent à aucune de ces catégories, ce sont des trapèzes, parfois appelés « trapézoïdes ». Euclide n'en a pas la même conception que nous, étant donné que les « trapèzes » sont pour lui des quadrilatères quelconques tandis que nous considérons de nos jours les trapèzes comme des quadrilatères dont deux côtés opposés sont parallèles et de longueur différente. Il existe aussi des « trapèzes droits » qui possèdent deux angles droits. Le dessin ci-dessous montre les deux types de « trapèzes » au sens que nous en avons de nos jours :

trapèze.

La figure dont Euclide étudie les propriétés dans ses Éléments est principalement le carré. Le parallélogramme est très souvent utilisé bien qu'il ne soit pas clairement défini. Euclide emploie parfois l'expression de « surface parallélogrammatique » afin de désigner un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Les rectangles sont des « parallélogrammes rectangulaires ».

Encore une fois, Euclide définit d'une manière exclusive les différents types de quadrilatères, c'est-à-dire qu'un carré n'est ni un losange ni un parallélogramme, pas plus qu'un rectangle n'est un trapèze. Nous utilisons en effet de nos jours le système inclusif suivant, représenté par l'entremise d'un diagramme de Venn :

Système inclusif des quadrilatères.

En fait, toutes ces considérations sont implicitement incluses dans la formulation de la définition que donne Euclide des figures quadrilatères. Par exemple, une construction du carré est proposée dans la proposition 46 où les quatre angles sont construits comme étant des angles droits, et non un seul d'eux, comme le laisserait entendre une lecture trop rapide de la définition d'un carré.

 

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